На чертежах деталей машин часто встречаются линии пересечения поверхностей, или, иначе, линии перехода . Поэтому необходимо изучить приемы построения этих линий.

Взаимное пересечение многогранников. На рис. 177, а приведены три изображения двух пересекающихся призм - четырехугольной и треугольной. Построение фронтальной проекции на рисунке не закончено; проекция линии пересечения на ней не показана. Требуется построить проекции линии пересечения на всех изображениях чертежа.

Рассматривая горизонтальную и профильную проекции, можно установить, что боковые грани вертикально расположенной призмы перпендикулярны горизонтальной плоскости проекций; проекция линии пересечения на эту плоскость совпадает с проекциями боковых граней, т. е. с отрезками прямых линий. Профильная проекция линии пересечения также совпадает с профильной проекцией треугольной призмы. Никаких дополнительных линий на этих проекциях не будет (рис. 177, б). Следовательно, решение задачи сводится к построению фронтальной проекции линии пересечения. Для этого нужно найти точку пересечения ребер одной призмы с гранями другой.

При решении задачи сначала определяют ребра каждой из призм, которые не пересекают грани другой (эти ребра на рис. 177, б не помечены цифрами). Затем, рассматривая профильную и горизонтальную проекции, видим, что ребра 1 - 2 и 3-4 пересекают наклонные грани треугольной призмы. Места пересечения-точки встречи ребер 1-2 и 3-4 с контуром профильной проекции треугольной призмы, т. е. а", b", с", d" видны на чертеже. Проекции невидимых точек заключены в скобки.

Горизонтальные проекции а, b, с, d точек A, В, С, D расположены на горизонтальных проекциях ребер 1-2 и 3-4. Проекции ребер изображаются в виде точек. Фронтальные проекции - точки а" b", с", а" определяют при помощи линий связи. Далее устанавливают, что ребра 5-6 и 7-8 треугольной призмы пересекают грани четырехугольной. Горизонтальные проекции точек пересечения е, f, g, h видны на чертеже. Фронтальные проекции точек Е, F, G, Н находят, проводя линии связи к проекциям соответствующих ребер. Чтобы получить линию пересечения, нужно соединить полученные точки прямыми линиями. Соединяют те точки, которые находятся на одних и тех же гранях каждой призмы. Затем нужно последовательно соединить точки а", b", g", h", d", с",f", е". Отрезки e"f" и g"h" - линии пересечения на фронтальной проекции - невидимы, так как закрыты наклонными гранями треугольной призмы, поэтому их обводят штриховой линией.

Наглядное изображение пересекающихся призм дано на рис. 177, в.

На рис. 178 показано построение линии пересечения четырехугольной усеченной пирамиды и четырехугольной призмы. Построение выполнено аналогично приведенному на рис. 177. На фронтальной проекции линия пересечения совпадает с проекцией боковых граней призмы, так как они перпендикулярны фронтальной плоскости проекции (см. рис. 178). Верхнее и нижнее ребра призмы пересекаются с передним и задним ребрами пирамиды в точках 1, 2, 3, 4, проекции которых 1", 2", 3", 4" находятся в точках пересечения соответствующих ребер. Имея фронтальные и профильные проекции точек 1, 2, 3, 4, находят их горизонтальные проекции при помощи линий связи, как показано стрелками на чертеже.

Точки пересечения других двух ребер призмы с гранями пирамиды без дополнительного построения получить нельзя. Чтобы определить эти точки, призму и пирамиду пересекают горизонтальной секущей плоскостью Р. При пересечении плоскости Р с пирамидой образуется ромб, стороны которого будут параллельны сторонам оснований пирамиды. Ромб легко построить, спроецировав точку а" на горизонтальную плоскость проекций и проведя прямые, параллельные сторонам основания. При пересечении плоскости Р с призмой образуется прямоугольник, равный горизонтальной проекции призмы. Точки 5, 6, 7, 8 пересечения контуров ромба и прямоугольника будут искомыми точками линий пересечения обоих тел.

Профильные проекции 5", 6"", 7", 8" получены при помощи линий связи. В скобках проставлены проекции невидимых точек. Соединяя прямыми проекции точек, расположенных на одних и тех же гранях пирамиды и призмы, т. е. точки 1, 6, 2, 5, точки 3, 8, 4, 7, точки 1", 5", 2" и точки 3", 7", 4", получают недостающие проекции линии пересечения.

Взаимное пересечение тел вращения.

На рис. 179 показано построение линии пересечения двух цилиндров разных диаметров; оси цилиндров взаимно перпендикулярны и пересекаются.

На рис. 179, а изображены деталь, предназначенная для соединения труб,- тройник, и ее упрощенная модель - два пересекающихся цилиндра. Пересекаясь, цилиндрические поверхности образуют пространственную кривую линию. Горизонтальная проекция линии пересечения совпадает с горизонтальной проекцией вертикально расположенного цилиндра, т. е. с окружностью (рис. 179, б). Профильная проекция линии пересечения совпадает с окружностью, являющейся профильной проекцией горизонтально расположенного цилиндра. Отметив на горизонтальной проекции характерные точки 1, 2, 3, находят их профильные проекции 1", 2", 3", которые расположены на дуге окружности. По горизонтальной и профильной проекциям точек 1, 2, 3 находят их фронтальные проекции 1", 2", 3". Таким образом, находят проекции точек, определяющих линию перехода.

В ряде случаев такого количества точек недостаточно, и чтобы получить дополнительные точки, применяют способ вспомогательных секущих плоскостей . Этот способ заключается в том, что поверхность каждого тела пересекают вспомогательной плоскостью, образующей фигуры сечений, контуры которых пересекаются. Точки, полученные при пересечении контуров сечений, являются точками линии пересечения. В данном случае оба цилиндра пересекают вспомогательной горизонтальной секущей плоскостью (рис. 179, в). При пересечении вертикально расположенного цилиндра образуется окружность, а горизонтально расположенного цилиндра - прямоугольник. Точки пересечения 4 и 5 окружности и прямоугольника принадлежат обоим цилиндрам и, следовательно, определяют линию пересечения обоих тел (см. рис. 179, а). Отметив профильные, а затем горизонтальные проекции точек 4 и 5, при помощи линий связи находят фронтальные проекции (см. рис. 179, в). Полученные точки соединяют плавной кривой.

При необходимости увеличить число точек, определяющих линию пересечения, проводят еще несколько параллельных вспомогательных секущих плоскостей.

Если оба цилиндра имеют одинаковые диаметры , то одна из проекций линий пересечения представляет собой пересекающиеся прямые (рис. 179, г и д), а линии пересечения - эллипсы.

Линия пересечения шара и прямого кругового цилиндра, ось которого проходит через центр шара, показана на рис. 180. Как видно из чертежа, на одной проекции линия пересечения изображается окружностью, а на другой проецируется в прямую линию.

Проецирование тел с отверстиями. В технике встречаются детали с отверстиями цилиндрической, прямоугольной или какой-либо другой формы (рис. 181). При пересечении отверстий с поверхностями деталей образуются линии пересечения, форму которых в ряде случаев необходимо воспроизвести на чертеже. Задача эта решается в общем виде теми же способами, что и построение линий пересечения геометрических тел.

На рис. 182, а показан цилиндр с боковым отверстием цилиндрической формы. Оси цилиндра и отверстия пересекаются под прямым углом. Линия пересечения есть пространственная кривая. Построение линии пересечения было показано на рис. 179, а получение характерных точек данной кривой дано на рис. 182, а.

Линия пересечения цилиндра с отверстием прямоугольной формы при пересечении осей под прямым углом показана на рис. 182, б. Для построения линии пересечения на горизонтальной проекции выбраны характерные точки 1, 2, 3, 4, 5, 6. Профильные проекции 1", 2", 3", 4"", 5"", 6" расположены на окружности, являющейся проекцией цилиндра. Фронтальные проекции 1, 2", 3", 4", 5", 6" находят по полученным горизонтальным и профильным проекциям. Соединив точки 1", 2", 3", 4", 5", 6" прямыми, получают ломаную линию пересечения в виде прямоугольной впадины.

На рис. 182, в показана линия пересечения цилиндра с отверстием, образованным четырехугольной призмой, и двумя полуцилиндрами. Такую форму имеет шпоночная канавка. Линия пересечения представляет собой прямолинейную впадину (см. рис. 182, б) с криволинейными краями (см. рис. 182, а).

Ответьте на вопросы

1. В чем заключается способ вспомогательных секущих плоскостей? Для чего его применяют?

2. Какую форму имеет линия пересечения двух цилиндров разных диаметров и двух цилиндров одинаковых диаметров, если оси цилиндров пересекаются?

Задания к § 25 и главе IV

Упражнение 83

По двум данным проекциям детали начертите третью (рис. 183). Постройте недостающие проекции точек А и В, заданных проекциями а и b" расположенных на видимых гранях. Выполните аксонометрическую проекцию, проставьте на ней размеры и нанесите точки А и Б.

Ответьте на вопросы

1. Какие проекции даны на чертеже?

2. Чему равны габаритные размеры детали?

3. Каковы размеры прямоугольного паза на детали?

4. Какова шероховатость поверхности, изображенной на главном виде штриховой линией?

5. Нужно ли обрабатывать основание детали и боковые стороны?

6. Нужно ли обрабатывать верхнюю наклонную плоскость детали?

Упражнение 84

По двум проекциям детали начертите третью (рис. 184). Постройте недостающие проекции точки, расположенной на видимой поверхности детали и заданной фронтальной проекцией d.

Ответьте на вопросы к рис. 184

1. Какова исходная форма детали?

2. Какие проекции даны на чертеже?

3. Что обозначают штриховые линии на фронтальной проекции?

4. Что обозначают две горизонтальные штриховые линии на профильной проекции?

5. Чем вызвано появление на фронтальной проекции двух вогнутых линий?

6. Можно ли без дополнительных построений обозначить на профильной проекции точку В, заданную фронтальной проекцией b"? Где находится эта точка на профильной проекции?

7. Каковы габаритные размеры детали?

8. Какие размеры определяет положение отверстия диаметром 40 мм?

9. Допустима ли обточка детали под размер 119,98 мм?

10. Допустима ли обточка детали под размер 119,8 мм? Если нет, то можно ли такой брак исправить?

11. Допустима ли обработка паза 60 мм под размер 60 -0,1 ? Если нет, то можно ли такой брак исправить?

12. Нужно ли наносить размер между линиями, обозначенными цифрой 1 в зеленом четырехугольнике? В результате чего образовались эти линии?

13. Какова должна быть шероховатость большей части поверхности детали?

14. Какова шероховатость двух параллельных плоскостей в каждом из пазов?

Упражнение 85

По наглядным изображениям деталей (рис. 185, а-в) выполните чертежи в системе прямоугольных проекций. Масштаб чертежей возьмите 2: 1. Размеры определите обмериванием наглядных изображений.

Ответы к упражнениям главы IV

К упражнению 50

Обозначение	Наименование
1	Линия связи
2	Изображаемый предмет
3	Профильная проекция (вид слева)
4	Профильная плоскость проекций (W)
5	Фронтальная плоскость проекций (V)
6	Фронтальная проекция (вид спереди)
7	Горизонтальная плоскость проекций (Н)
8	Горизонтальная плоскость проекций (вид сверху)
9	Проектириующие лучи
А	Вид сперди (главный вид)
Б	Вид слева
В	Линия связи
Г	Вспомогательная прямая
Д	Вид сверху

К упражнению 54

К упражнению 56

На примеры 1 и 2 ответы следующие (на примеры 3, 4, 5 ответы не приводятся):

В примерах 1 и 2 виды должны быть расположены так:

АБ АВ В Б

К упражнению 57

Пример решения задачи дан на рис. 277.

К упражнению 58

Пример решения задачи дан на рис. 278.

К упражнению 59

Чтобы выбрать правильное положение для главного вида, надо смотреть на детали по направлению, указанному стрелками со следующими буквами.

В основе способа вспомогательных сферических поверхностей лежит следующее положение: сфера с любой поверхностью вращения, ось которой проходит через центр сферы, пересекается по окружности. Если ось вращения параллельна плоскости проекций, то на эту плоскость такие окружности проецируются в прямые, перпендикулярные оси вращения (рис.7.17).

Рис. 7.17. Пересечение тел вращения со сферой

Способ вспомогательных сферических поверхностей применяется при определении линии пересечения тел вращения, оси которых пересекаются и параллельны одной и той же плоскости проекций.

Точку пересечения осей вращения принимают за центр концентрических сферических поверхностей и проводят ряд сфер, пересекающих обе поверхности.

В пересечении контуров получаемых окружностей находят общие для двух поверхностей точки. Наименьшей вспомогательной сферической будет поверхность, вписанная в большее тело.

Задача: Построить линию пересечения двух цилиндров, оси которых пересекаются и параллельны плоскости V (рис.7.18).

Решение:

Находим опорные точки – точки пересечения крайних образующих цилиндра с наклонной осью с крайней правой образующей вертикального цилиндра. Это будут высшая и низшая точки линии пересечения (А v и В v ).

Для построения промежуточных точек проводится ряд концентрических сфер, центры которых, будут лежать в точке пересечения осей заданных цилиндров (О v ).

Наименьшей сферической поверхностью здесь будет поверхность, вписанная в вертикальный цилиндр. Эта сфера касается вертикального цилиндра по окружности, которая проецируется в прямую 1v=2v , а наклонный цилиндр пересекает по окружности, проецирующуюся в прямую 3v=4v . Точка пересечения этих прямых (проекций окружностей) С v и будет общей для обоих цилиндров.

Рис. 7.18. Линия пересечение двух цилиндров

Для построения случайных (промежуточных) точек проведем ряд концентрических сфер. Рассмотрим построение этих точек на примере построения точки Д v .

Проводим сферу, радиус которой больше радиуса окружности основания вертикального цилиндра. Эта сфера пересекает цилиндры по окружностям, проецирующим в прямые 5 v -6 v и 7 v -8 v . Точка пересечения этих прямых (Д v ) и будет точкой, принадлежащей линии пересечения двух цилиндров.

Остальные точки строятся аналогично.

7.6. Развертка поверхности вращения

В промышленности применяется большое количество разнообразных конструкций, выполненных из листового материала путем изгибания, например, различные резервуары, наружная обшивка крыла самолета, кузов автобуса и т.п. Поэтому построение разверток поверхностей имеет большое практическое значение.

Разверткой , называют фигуру, полученную путем изгибания поверхности при совмещении ее с плоскостью.

К развертывающимся поверхностям относятся цилиндрические и конические поверхности вращения, а к не развертывающимся – поверхности сферы, тора, эллипсоида вращения, параболоида вращения и другие поверхности вращения как закономерные, так и общего вида.

На практике очень часто строят условные (приближенные) развертки не развертывающихся поверхностей, аппроксимируя их развертывающимися поверхностями (гранными, цилиндрическими, коническими).

Развертка цилиндра вращения – прямоугольник, одна сторона его равна  d (d – диаметр цилиндра), а другая – h (высота цилиндра).

Задача: Построить развертку горизонтально-проецирующего цилиндра, срезанного фронтально-проецирующей плоскостью Р .

Решение:

Для построения развертки цилиндрической поверхности использован способ раскатки (рис.7.19).

Окружность основания разделена на 12 равных частей. Через точки проведены образующие цилиндра.

При построении развертки цилиндрическая поверхность «разрезана» по образующей 1-1  и совмещена с плоскостью V . Причем длина линии 1 О ,2 О …12 О ,1 О должна быть теоретически равна окружности основания, а практически на этой линии отложено 12 отрезков, равных  12  . Цилиндрическая поверхность аппроксимирована вписанной в нее призматической (гранной) поверхностью.

Нахождение точек 1  О ,2  О …12  О ,1   О на развертке видно из построений на рис.7.19.

Рис. 7.19. Развертка усеченного цилиндра

Развертка цилиндра состоит из развертки цилиндрической поверхности и двух фигур: окружности (основания) и эллипса (сечения, лежащего в плоскости Р ). Эллипс может быть построен так, как показано на рис.7.19 или по двум осям (большая ось эллипса равна отрезку 1  ’ V 7’ V , а малая ось – 4 Н 10 Н ).

Задача: Построить развертку конуса вращения, срезанного фронтально проецирующей плоскостью Р (рис.7.20).

Решение:

Развертка его боковой поверхности представляет круговой сектор, радиус которого равен длине образующей конической поверхности S V 1 V , а центральный угол  =360 o r /(S V 1 V ) , где r – радиус окружности основания конуса.

Для построения развертки окружность основания конуса разделена на 12 равных частей и через точки проведены образующие конуса:S V 2 V , S V 3 V , S V 5 V и т.д., которые пересекаются с плоскостью Р в точках 2’ V , 3’ V , 5’ V и т. д. При построении развертки необходимо определять натуральную величину отсекаемых плоскостью Р отрезков образующихS V 2’ V , S V 3’ V , S V 5’ V и т.д., которые определяются путем поворота образующей в положение фронтальной прямой, т.е. до совмещения с прямой S V 1 V .

Рис. 7.20. Развертка усеченного конуса

Из произвольной точки S О проводится окружность радиусом S V 1 V , на которой откладываются 12 равных отрезков: 1 0 2 0 =1 H 2 H ; 2 0 3 0 =2 H 3 H и т.д. Точки 1 0 , 2 0 , 3 0 и т.д. соединяются с точкой S О и на этих прямых линиях отмечаются точки 1’ 0 , 2’ 0 , 3’ 0 и т.д. на расстояниях S О 1’ 0 = S V 1’ V ; S О 2’ 0 = S V 2’’ V ; S О 3’ 0 = S V 3’’ V и т.д. Полученные точки плавно соединяют линией, которая представляет собой линию сечения конуса плоскостью Р.

Развертка конуса включает в себя также круг основания конуса и эллипс (сечение конуса плоскостью Р ), который может быть построен так, как показано на рис.6.6 или по двум осям (большая ось эллипса равна отрезку 1’ V 7’ V , а малая расположена посередине между точками 1 V и 7 V ).

С построением развертки боковой поверхности усеченного конуса, поверхности сферы и тора можно ознакомится по литературе /1/ и /2/.

Для построения кривой линии, получаемой при пересечении цилиндрической поверхности плоскостью, следует в общем случае находить точки пересечения образующих с секущей плоскостью, как было сказано на с. 170 в отношении линейчатых поверхностей вообще. Но это не исключает возможности применять и вспомогательные плоскости, пересекающие каждый раз поверхность и плоскость.

Прежде всего отметим, что любая цилиндрическая поверхность пересекается плоскостью, расположенной параллельно образующей этой поверхности, по прямым линиям (образующим). На рис. 360 показано пересечение цилиндрической поверхности плоскостью. В данном случае эта поверхность является вспомогательным элементом при построении точки пересечения кривой линии с плоскостью: через заданную кривую (см. рис. 360, слева) DMNE проведена цилиндрическая поверхность, проецирующая кривую на пл. π 1 . Далее, плоскость (на рис. 360 - треугольник) пересекает цилиндрическую поверхность по плоской кривой М 1 ... N 1 . Искомая точка пересечения кривой с плоскостью - точка К - получается в пересечении кривых - заданной и построенной.

Такая схема решения задачи на пересечение кривой линии с плоскостью совпадает со схемой решения задач на пересечение прямой линии с плоскостью (см. §§ 23

и 25); в обоих случаях через линию проводят вспомогательную поверхность, которая для прямой линии является плоскостью.

Горизонтальная проекция кривой M 1 ...N 1 , по которой цилиндрическая поверхность пересекается с плоскостью, совпадает с горизонтальной проекцией кривой D ... Е, так как эта кривая является направляющей для цилиндрической поверхности при перпендикулярных к пл. π 1 , ее образующих. Поэтому по точке М" 1 на проекции А"С" мы можем найти проекцию М" 1 на А"С" и по точке N" 1 - проекцию N" 1 . Далее, на рис. 360 справа показана вспомогательная пл. α, пересекающая ABC по прямой CF, а цилиндрическую поверхность - по ее образующей с горизонтальной проекцией в точке 1". В пересечении этой образующей с прямой CF получается точка с проекциями 1" и 1", принадлежащая кривой М 1 ... N 1 Очевидно, можно не указывать следа плоскости, а просто провести прямую в треугольнике, как это показано в отношении прямой CG, на которой получена точка с проекциями 2" и 2".

В рассмотренных далее примерах будут показаны развертки . Развертывание цилиндрической поверхности в общем случае может производиться по схеме развертывания поверхности призмы. Цилиндрическая поверхность как бы заменяется вписанной в нее или описанной призматической, ребра которой соответствуют образующим цилиндрической поверхности. Само развертывание, подобно показанному на рис. 283, производится при помощи нормального сечения. Но вместо ломаной линии проводится плавная кривая.

На рис. 361 показано пересечение прямого кругового цилиндра фронтально-проецирующей плоскостью. Фигура сечения представляет собой эллипс, малая ось которого равна диаметру основания цилиндра; величина большой оси зависит от угла между секущей плоскостью и осью цилиндра.

Так как ось цилиндра перпендикулярна к пл. π 1 то горизонтальная проекция фигуры сечения совпадает с горизонтальной проекцией цилиндра.

Обычно для построения точек контура сечения проводят равномерно расположенные образующие, т. е. такие, проекции которых на пл. π 1 являются точками, равноотстоящими друг от друга. Этой «разметкой» удобно пользоваться не только для построения проекций сечения, но и развертки боковой поверхности цилиндра, как это будет показано ниже.

Проекция фигуры сечения на пл. π 3 - эллипс, большая ось которого в данном случае равна диаметру цилиндра, а малая представляет собой проекцию отрезка 1"7". На рис. 361 на пл. π 3 изображение построено так, как будто верхняя часть цилиндра снята после пересечения его плоскостью.

Если бы на рис. 361 плоскость α составляла с осью цилиндра угол 45°, то проекцией эллипса на π 3 была бы окружность. При этом отрезки 1""7"" и 4""10"" оказались бы равными.

Если тот же цилиндр пересекать плоскостью общего положения, также составляющей с осью цилиндра угол 45°, то проекцию фигуры сечения (эллипса) в виде окружности можно получить на дополнительной плоскости проекций, параллельной оси цилиндра и горизонталям секущей плоскости.

Очевидно, при увеличении угла наклона секущей плоскости к оси отрезок 1""7"" уменьшается; если же этот угол будет меньше 45°, отрезок 1""7"" увеличивается и становится большой осью эллипса на пл. π 3 , малой же осью этого эллипса становится отрезок 4""10"".

Натуральный вид сечения представляет собой, как уже сказано выше, эллипс. Его оси получаются на чертеже: большая - отрезок 1 0 7 0 = 1"7", малая - отрезок 4 0 10 0 , равный диаметру цилиндра. Эллипс может быть построен по этим осям.

На рис. 362 показана полная развертка нижней части цилиндра.

Развернутая окружность основания цилиндра разделена на равные между собой части соответственно делениям на рис. 361; отрезки образующих отложены на перпендикулярах, проведенных в точках деления развернутой окружности основания цилиндра. Концы этих отрезков соответствуют точкам эллипса. Поэтому, проведя через них кривую линию, получаем развернутый эллипс (эта линия представляет собой синусоиду) - верхнюю кромку развертки боковой поверхности цилиндра.

К развертке боковой поверхности на рис. 362 присоединены круг основания и эллипс - натуральный вид сечения, что дает возможность сделать модель усеченного цилиндра.

На рис. 363 изображен эллиптический цилиндр с круговым основанием; его ось параллельна пл. π 2 . Для определения нормального сечения этого цилиндра его надо рассечь плоскостью, перпендикулярной к образующим, в данном случае фронтально-проецирующей плоскостью. Фигура нормального сечения представляет собой эллипс с большой осью, равной отрезку 3 0 7 0 , и с малой, равной 1 0 5 0 = 1"5".

Если надо будет развернуть боковую поверхность данного цилиндра, то, имея нормальное сечение, развертывают ограничивающую его кривую в прямую линию и в соответствующих точках этой прямой, перпендикулярно к ней, откладывают отрезки образующих, беря их с фронтальной проекции. Для разметки образующих делят окружность основания на равные части. При этом и эллипс (нормальное сечение) разделится на такое же число частей, но не все эти части получаются равной

длины. Развертывание эллипса в прямую можно произвести путем последовательного откладывания на прямой достаточно малых частей эллипса.

На рис. 364 показан прямой круговой цилиндр, пересеченный плоскостью общего положения. В сечении получается эллипс: секущая плоскость составляет с осью конуса некоторый острый угол.

Подобно тому, как это было на рис. 361, горизонтальная проекция сечения совпадает с горизонтальной проекцией цилиндра. Поэтому положение горизонтальной проекции точки пересечения любой из образующих цилиндра с пл. α известно (например, точка А" на рис. 365). Для нахождения соответствующей фронтальной проекции можно ировести в пл. α горизонталь или фронталь, на которой должна находиться искомая точка. На рис. 365 проведена фронталь; в том месте, где фронтальная проекция фронтали пересекает фронтальную проекцию соответствующей образующей, лежит проекция А". Одна и та же фронталь определяет две точки кривой, А и В (рис. 365). Если же построить фронталь, соответствующую точке С, то

эта линия определит лишь одну точку кривой пересечения. Фронталь, построенная по точкам D и Е, определяет крайние точки D" и Е".

Продолжая аналогичные построения, можно найти достаточно точек для вычерчивания фронтальной проекции линии пересечения.

На рис. 366 верхняя часть цилиндра как бы срезана. Если же фронтальную проекцию показывают полностью, то линию пересечения вычерчивают так, как показано на рис. 364.

На рис. 365 показаны вспомогательные фронтальные плоскости β, γ, δ пересекающие цилиндр по образующим, а пл. α по фронталям. Это соответствует тому, что было сказано в начале параграфа. Вспомогательная пл. δ лишь касается цилиндра, что дает возможность определить только одну точку для кривой.

При построении фронтальной проекции линии пересечения, помимо точек D" и Е" (рис. 365), следует найти еще две крайние точки, а именно М" и N" - наивысшую и наинизшую точки проекции сечения на пл. π 2 . Для их построения надо выбрать вспомогательную плоскость, перпендикулярную к следу h" 0α и проходящую через ось цилиндра (рис. 366). Эта плоскость является общей плоскостью симметрии данных цилиндра и секущей пл. а. Найдя линию пересечения плоскостей α и β, отметим точки М" и N", построив их на фронтальной проекции по точкам М" и N".

Иной способ нахождения точек М" и N" заключается в проведении двух плоскостей, касательных к цилиндру, горизонтальные следы которых параллельны следу h" 0α . Эти плоскости пересекутся с пл. α по горизонталям последней (рис. 364, вспомогательные плоскости β и γ); отметив точки М" и N" построим точки М" и N" на фронтальных проекциях горизонталей.

Отрезок MN представляет собой большую ось эллипса - фигуры сечения данного цилиндра пл. α. Это видно и на рис. 366, где построен в совмещении с пл. π 1 эллипс - натуральный вид сечения. Но отрезок M"N" на том же рисунке отнюдь не является большой осью эллипса - фронтальной проекции фигуры сечения. Эту большую ось можно найти по сопряженным диаметрам M"N" и F"G" (рис. 364) построением, указанным в § 21, или специальным построением, приведенным в § 76.

Натуральный вид сечения может быть найден совмещением секущей плоскости с одной из плоскостей проекций, π 1 или π 2 .

На рис. 366 эллипс в совмещенном положении построен по большой и малой осям (там же точка D" получена совмещением фронтали).

Развертка боковой поверхности показана на рис. 364. Обратите внимание на то, что разметка точек - горизонтальных проекций образующих - на окружности основания производилась от точки N". Этим построение упрощалось, так как с помощью одной и той же горизонтали получаются две точки на фронтальной проек

ции эллипса. Кроме того, фигура развертки имеет ось симметрии. Но при этом точки D" и Е" не попали в число точек, размеченных на окружности.

Еще один пример построения фигуры сечения цилиндра вращения плоскостью дан на рис. 367. Это построение выполнено при помощи способа перемены плоскостей проекций. Секущая плоскость задана пересекающимися прямыми - фронталью (AF) и профильной прямой (АР). Так как профильная проекция фронтали и фронтальная проекция профильной прямой лежат на одной прямой А"≡A"", A""F"" = А"Р", то эти прямые лежат соответственно в плоскостях π 2 и π 3 , (см. рис. 367, слева вверху). Ось π 2 /π 3 проходит через A""F""(A"P").

Вводим новую пл. π 4 так, что π 4 ⊥π 3 , и π 4 ⊥АР. Секущая плоскость оказывается перпендикулярной к π 4 , и проекция на π 4 фигуры сечения получается в виде отрезка прямой 2 IV 6 IV , равного большой оси эллипса - фигуры сечения. Положение прямой A IV 6 IV определяется построением проекций точек А и 1 на пл. π 4 .

Проследим построение некоторых точек. Чтобы избежать излишних построений, проекция 1"" была взята на продолжении перпендикуляра, проведенного из О"" на π 3 / π 4 . По точке 1"" была получена проекция 1"; отрезок 1"1"", отложенный от оси π 3 /π 4 , определил точку IV и совпадающую с ней точку О 1 - проекцию центра эллипса. Зная проекции 0 IV и О"", можно получить О" - центр эллипса - искомой фронтальной проекции фигуры сечения.

По точкам 2 IV и 2"" найдена точка 2", наименее удаленная от π 3 , а по точкам 6 IV и 6"" - точка 6", наиболее удаленная от π 3 .

По точке 5"" взяга точка 5 IV , и теперь по точкам 5 IV и 5"" найдена точка 5"- одна из точек, определяющих разделение эллипса на фронтальной проекции цилиндра на «видимую» и «невидимую» части. Вторая точка расположена симметрично точке 5" по отношению к О".

Остальное ясно из чертежа. Натуральный вид фигуры сечения (эллипс на рис. 367, справа) построен по осям - большой, равной 2 IV 6 IV , и малой, равной диаметру цилиндра.

Вопросы к §§ 55 -56

1. Как строится кривая линия при пересечении кривой поверхности плоскостью?
2. По каким линиям пересекается цилиндрическая поверхность плоскостью, проведенной параллельно образующей этой поверхности?
3. Каким приемом пользуются в общем случае для нахождения точки пересечения кривой линии с плоскостью?
4. Какие линии получаются при пересечении цилиндра вращения плоскостями?
5. В каком случае эллипс, получаемый при пересечении цилиндра вращения, ось которого перпендикулярна к пл. π 1 , фронтально-проецирующей плоскостью, спроецируется на пл. π 3 в виде окружности?
6. Как следует расположить дополнительную плоскость проекций, чтобы эллипс, получаемый при пересечении цилиндра вращения, ось которого перпендикулярна к пл. π 1 , плоскостью общего положения, составляющей с осью цилиндра угол 45°, спроецировался на эту плоскость проекций в виде окружности?

В ряде случаев имеет место пересечение одной поверхности вращения второго порядка другою. При этом, как и для всех алгебраических поверхностей второго порядка, получается пространственная кривая четвертого порядка, называемая биквадратной .

В сноске на с. 208 было сказано, что если две. поверхности второго порядка имеют общую для них плоскость симметрии, то получаемая кривая пересечения этих поверхностей проецируется на плоскость, параллельную их плоскости симметрии, в виде кривой второго порядка. На рис. 412, к которому относилась эта сноска, были представлены два конуса вращения с пересекающимися осями, определявшими общую для этих конусов плоскость симметрии, параллельную пл. π 2 . Фронтальная проекция полученной при этом биквадратной кривой представляла собой гиперболу.

На рис. 416 дана 1) фронтальная проекция двух цилиндров вращения (Ц1 и Ц2) разных диаметров. Точка О" - фронтальная проекция точки пересечения осей ци

линдров. Фронтальная проекция получаемой биквадратной кривой представляет собой равностороннюю гиперболу (одну ее ветвь) с центром в точке О". Для построения применены сферы с общим центром в точке пересечения осей цилиндров. Сфера (Сф.1), вписанная в цилиндр большего диаметра, позволяет найти точку 1" - вершину гиперболы. Сферы с большим радиусом дают другие точки искомой проекции кривой (например, сфера Сф.2, точка 3"); если при этом радиус больше отрезка O"2", то получаются точки вне общей площади проекций обоих цилиндров.

На рис. 416 проведены асимптоты построенной гиперболы; они проходят через точку О" и взаимно перпендикулярны. Эти асимптоты сохраняют свое значение для всех гипербол, получаемых на рис. 416, если брать, например, цилиндры с вертикальной осью разных диаметров (Ц4, Ц5). Если же у цилиндров диаметры одинаковы (Ц1 и ЦЗ), т. е. эти цилиндры имеют общую для них вписанную сферу (Сф.1), то фронтальная проекция линии пересечения на рис. 416 (см. раньше рис. 404) представляет собой две пересекающиеся под прямым углом прямые, положение которых (например, O"2" 1) соответствует положению асимптот.

Если оси цилиндров пересекаются под острым углом (рис. 417), то проекция линии пересечения при тех же условиях, что и в случае, рассмотренном на рис. 416, представляет собой

1) В этом и в ряде последующих случаев ради экономии места и без ущерба для ясности изображения дается лишь часть проекции.

также равностороннюю гиперболу. Точки для этой проекции строятся по способу вспомогательных сфер, и в этом отношении между случаями, изображенными на рис. 417 и 416, различия нет. Обратим лишь внимание на то, что точка 4", получаемая при помощи сферы (Сф.1), вписанной в большой цилиндр, не является вершиной гиперболы, как это было на рис. 416.

Особенности же в построении на рис. 417 следующие. Для определения положения асимптот построен ромб 5 - 6 - 7 - 8, стороны которого касательны к некоторой окружности и параллельны образующим цилиндра. Диагонали этого ромба дают направления асимптот. Отсюда асимптоты взаимно перпендикулярны и гипербола равносторонняя.

Проведя биссектрису угла между асимптотами, получаем действительную ось гиперболы; на этой оси должна быть вершина - точка 1". Чтобы ее найти, выполняем следующее

построение: взяв какую-нибудь точку гиперболы, например 4" 1 , проводим через нее перпендикуляр к мнимой, оди гиперболы и отмечаем точки 9" и 10", в которых этот перпендикуляр пересекает мнимую ось и асимптоту; далее проводим радиусом 9" - 4" 1 дугу, засекая ею в точке 11" перпендикуляр, проведенный из точки 10" к прямой 9" - 4". Полученный отрезок 10" 11" выражает расстояние от О" до 1", т. е. до вершины гиперболы - действительную ее полуось.

У изображенных на рис. 418 поверхностей вращения линия их пересечения проецируется на пл. π 2 , параллельную общей плоскости симметрии этих поверхностей, в виде гиперболы (ее асимптоты параллельны диагоналям 1 - 3 и 2 - 4 трапеции, стороны которой соответственно параллельны образующим данных поверхностей и касаются некоторой окружности). Но в данном случае имеется еще плоскость симметрии, перпендикулярная к оси конической поверхности, - горизонтальная, проходящая через ось цилиндра. И на этой плоскости проекция линии пересечения рассматриваемых поверхностей должна быть кривой второго порядка. Получается замкнутая с двумя взаимно перпендикулярными осями симметрии кривая - эллипс. Его большая полуось О"В" равна отрезку В"5", малая полуось О"А" равна отрезку А"6", т. е. радиусу той параллели сферы (Сф.1), на которой находится точка А.

Гипербола, полученная на рис. 418, неравносторонняя: ее асимптоты составляют углы, не равные 90°. Так и на рис. 419, где тоже построена гипербола как проекция линии пересечения цилиндром поверхности конуса, гипербола неравносторонняя. Это характерно для случаев взаимного пересечения конической и цилиндрической поверхностей второго порядка, имеющих общую плоскость симметрии, когда линия пересечения проецируется на плоскость, параллельную плоскости симметрии 1).

На рис. 419 центром для вспомогательных сфер служит точка О, фронтальная проекция О" которой находится в точке пересечения осей конической и цилиндрической поверхностей. Вписанная в коническую поверхность сфера (Сф.1) дает возможность получить положение действительной оси, центр и вершины гиперболы. Асимптоты получены как диагонали трапеции 5"6"7"8", в которой стороны 5"6" и 7"8" параллельны образующей цилиндра и касаются окружности «Сф.1».

1) По исследованию Е. А. Глазунова «О проекциях линии пересечения двух поверхностей второго порядка, имеющих общую плоскость симметрии», опубликованному в сборнике «Труды московского семинара по начертательной геометрии и инженерной графике» в 1958 г.

Итак, на рис. 416 и 417 проекции"линии пересечения представляют собой равностороннюю гиперболу, в то время как на рис. 418 и 419 также получались гиперболы, но неравносторонние. Неравносторонняя гипербола получилась и в случае, показанном на рис. 420, где построена проекция линии пересечения одной конической поверхности вращения другою.

Здесь вписанная в конус с большим углом при его вершине сфера (Сф.1) дает возможность получить положение действительной оси, центр и вершины гиперболы. Асимптоты построены как диагонали трапеции 4"5"6"7".

Аналогичный случай был представлен на рис. 412, где дан чертеж в двух проекциях конусов со взаимно перпендикулярными пересекающимися осями, из которых один проходил сквозь другой.

Всегда ли в случае двух конических поверхностей получается проекция линии пересечения в виде именно неравносторонней гиперболы? Нет; если углы при вершинах конусов, изображенных на рис. 412 и 420, будут равны между собой, то гипербола, получаемая как проекция линии пересечения конических поверхностей вращения с пересекающимися осями на плоскость, параллельную этим осям, окажется равносторонней.

В нижеследующей таблице приведены из упомянутого в сноске на с. 212 исследования указания о проецировании линии пересечения двух поверхностей вращения второго порядка с пересекающимися осями на плоскость, параллельную этим осям.

На с. 207 был приведен рис. 411, на котором было показано построение фронтальной проекции линии соединения поверхностей цилиндра вращения и сферы. При этом у поверхностей их общая плоскость симметрии, определяемая осью цилиндра и центром сферы, параллельна пл. π 2 . Поэтому фронтальная проекция линии соединения данных поверхностей представляет собой кривую второго порядка, в рассматриваемом случае параболу с вершиной в точке В".

На рис. 421 показано построение параболы - проекции линии пересечения сферы цилиндром. Точки 2" и 3" (а также им симметричные) заведомо принадлежат искомой проекции. Точка 4" построена при помощи окружности, проведенной из точки О". Эта окружность есть главный меридиан сферы (Сф.2), центр которой находится на оси цилиндра в точке О". Для построения точки 1" (вершина параболы) взята вспомогательная сфера (Сф.1); точка 1" найдена в пересечении прямой 6"7"

с проекцией оси параболы. В упомянутом выше исследовании 1) установлено, что параметр параболы равен расстоянию между точками С" и О". Откладывая по половине этого отрезка в обе стороны от вершины параболы по ее оси, получаем точки 8" и 9". Через точку 8" проходит директриса, а в точке 9" находится фокус параболы. Можно теперь строить точки параболы, пользуясь найденными директрисой и фокусом.

В случае, если диаметр цилиндра, пересекающего сферу, равен ее радиусу и образующая цилиндра проходит через центр сферы (рис. 422), получается биквадратная кривая, носящая название кривой Вивиани 2). Ее фронтальная проекция

является параболой. Проекция на плоскости, параллельной другой плоскости симметрии (см. рис. 422, справа), т. е. в данном случае на пл. π 1 совпадая с проекцией цилиндра, представляет собой окружность - кривую второго порядка, что и должно быть по общему правилу, указанному в начале этого параграфа.

π 1) См. сноску на с. 212.

2) Винченцо Вивиани (1622 - 1703), математик и архитектор, ученик Галилея, применял эту биквадратную кривую для окон в сферическом куполе.

Для сферы каждая диаметральная плоскость является плоскостью симметрии. Если какая-либо поверхность вращения второго порядка пересекает сферу, центр которой находится в плоскости симметрии этой поверхности, то кривая пересечения проецируется на плоскость, параллельную плоскости симметрии, в виде кривой второго порядка. Мы уже встречались с этим на рис. 418 и на рис. 422; если бы построить горизонтальную проекцию на рис. 421, то кривая пересечения цилиндра со сферой спроецируется в окружность, что является очевидным так же, как и на рис. 422. Еще раньше, на рис. 398, проекция кривой пересечения конуса с поверхностью полушария представляла собой на пл. π 2 параболу, а на пл. π 3 - эллипс. Надо представить себе второе полушарие и второй конус в таком же взаимном положении, что и на рис. 398, и примкнуть оба полушария друг к другу их круговыми основаниями; плоскость соприкосновения окажется ярко выраженной плоскостью симметрии, параллельной пл. π 3 , а кривая на π 3 - эллипсом.

Парабола и эллипс как проекции линии пересечения были и на рис. 399.

В нижеследующей таблице указывается, в каких случаях при пересечении двух поверхностей вращения второго порядка с пересекающимися осями получаются параболы и эллипсы как проекции линий пересечения на плоскостях, параллельных плоскости симметрии этих поверхностей 1).

Зная, какая именно линия должна получиться при построении проекций, можно в ряде случаев применить геометрические свойства этих линий, что упрощает построения и позволяет получать более точные результаты.

Вопросы к §§ 63-65

1. По каким линиям пересекаются между собой: а) цилиндрические поверхности, образующие которых параллельны между собой, б) конические поверхности с общей вершиной?
2. Как строятся образующие линейчатой поверхности, называемой цилиндром с тремя направляющими, если две из них или все три - кривые линии?
3. Какие линии получаются при взаимном пересечении двух поверхностей вращения, описанных вокруг общей для них сферы или вписанных в сферу?
4. По каким линиям пересекаются между собой соосные поверхности вращения?
5. В каких случаях возможно и целесообразно применять вспомогательные секущие сферы?
6. Какая кривая называется биквадратной?
7. В виде какой линии проецируется биквадратная кривая на плоскость, параллельную общей плоскости симметрии двух пересекающихся поверхностей второго порядка?
8. Какая из кривых второго порядка является проекцией линии пересечения одной цилиндрической поверхности вращения другою на плоскости, параллельной общей плоскости симметрии этих поверхностей?
9. В каком случае проекция линии пересечения конических поверхностей, имеющих общую плоскость симметрии, параллельную плоскости проекций, является равносторонней гиперболой?
10. Какие кривые могут быть проекциями линии пересечения поверхностей цилиндра и конуса вращения со сферой в случае общей для них плоскости симметрии?

1) Из того же исследования (см. сноску на с. 212).

Взаимное пересечение тел вращения

На рис. 4.21 показано построение линии пересечения двух цилиндров разных диаметров. Оси цилиндров взаимно перпендикулярны и пересекаются.

На рис. 4.21, а изображена деталь (тройник, служащий для соединения труб, и его модель), представляющая собой два пересекающихся цилиндра. Пересекаясь, цилиндрические поверхности образуют пространственную кривую линию. Горизонтальная проекция линии пересечения совпадает с горизонтальной проекцией вертикально расположенного цилиндра, т.е. с окружностью (рис. 4.21, б ). Профильная проекция линии пересечения совпадает с окружностью, являющейся профильной проекцией горизонтально расположенного цилиндра. Отмечают на горизонтальной и профильной проекциях характерные точки 1, 2, 3. По горизонтальной и профильной проекциям точек 1 , 2, 3 находят их фронтальные проекции 1", 2", 3". Таким образом найдены проекции точек, определяющих линию перехода.

Рис. 4.21.

b – линия пересечения: b", b, b" – проекции линии пересечения

В ряде случаев такого количества точек недостаточно. Чтобы получить дополнительные точки, можно применить способ вспомогательных секущих плоскостей.

Способ вспомогательных секущих плоскостей

Этот способ заключается в том, что поверхности тел пересекают вспомогательной плоскостью, образующей фигуры сечений, контуры которых пересекаются. Точки, полученные в результате пересечения контуров сечений, находятся на линии пересечения.

В данном случае оба цилиндра пересекают вспомогательной секущей плоскостью Р (рис. 4.21, а, в ). При пересечении вертикально расположенного цилиндра образуется окружность, а горизонтально расположенного цилиндра – прямоугольник.

Точки пересечения 4 и 5 окружности и прямоугольника принадлежат обоим цилиндрам и, следовательно, находятся на линии пересечения обоих тел (рис. 4.21, а ).

Отметив профильные, а затем горизонтальные проекции точек 4 и 5, которые лежат на окружностях, находят с помощью линий связи их фронтальные проекции, как это показано стрелками на рис. 4.21, в.

Полученные пять точек соединяют плавной кривой.

При необходимости увеличить количество точек, определяющих линию пересечения, проводят еще несколько параллельных секущих плоскостей.

Если оба цилиндра имеют одинаковые диаметры, то одна из проекций их линий пересечения представляет собой пересекающиеся прямые (рис. 4.21, г , д ), а в пространстве линии пересечения – эллипсы.

Линия пересечения шара и прямого кругового цилиндра, ось которого проходит через центр шара, показана на рис. 4.22. Как видно из чертежа, на одной проекции линия пересечения изображается окружностью 1, а па другой проецируется в прямую линию 1".

Рис. 4.22.

1 – линия пересечения; 1" и 1 – проекции линии пересечения

Проецирование тел с отверстиями

В технике встречается много деталей, имеющих отверстия цилиндрической, прямоугольной, треугольной или смешанной формы (рис. 4.23). При пересечении отверстий с поверхностями деталей образуются линии пересечения, которые необходимо построить на чертеже Задача эта решается в общем виде теми же методами, что и построение линий пересечения геометрических тел. В каждом случае отверстие можно рассматривать как тело, проходящее через данную деталь.

Рис. 4.23.

На рис. 4.24, а показан цилиндр, имеющий отверстие цилиндрической формы. Оси цилиндра и отверстия пересекаются под прямым углом. Линия пересечения изображается кривой. Построение такой линии было показано на рис. 4.21. На рис. 4.24, а показано, как получить характерные точки данной кривой.

Рис. 4.24.

Линия пересечения цилиндра с отверстием прямоугольной формы в случае пересечения их осей под прямым углом показана на рис. 4.24, б. Для ее построения на горизонтальной проекции выбраны характерные точки 1, 2, 3, 4, 5, 6. Профильные их проекции 1", 2", 3", 4", 5" , 6" лежат на окружности, являющейся проекцией цилиндра. Фронтальные проекции 1", 2", 3", 4", 5" , 6" находят по полученным горизонтальным и профильным. Соединив точки 1", 2", 3", 4", 5", 6" прямыми, получают проекцию линии пересечения в виде прямоугольной впадины. Проекция линии пересечения с другой стороны отверстия имеет ту же форму.

На рис. 4.24, в показана линия пересечения цилиндра с отверстием, являющимся комбинацией первых двух. Отверстие образовано четырехугольной призмой и двумя полуцилиндрами. Такую форму имеет шпоночная канавка.